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東大寺学園中学校 2020年 大問4

問題

太郎君と花子さんが1,2,3,4,5,6の6種類の数字だけを並べて整数を作ります。ただし,同じ数字を何回用いてもよいとします。たとえば3けたの整数を作るときは222や353などの整数も作ることができます。太郎君の作る整数をA,花子さんの作る整数をBとするとき,次の問いに答えなさい。

(1) ①2人とも2けたの整数を作るとき,B=2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

②2人とも2けたの整数を作るとき,B=2×A+1となるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

 

(2) 2人とも3けたの整数を作るとき,B=2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

 

(3) 2人とも5けたの整数を作るとき,B=2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

 

解説

(1) Aの候補を全て書き出して考えるとよいでしょう。

66÷2=33より、Aはおおよそ11以上33以下と限定できます。このうち、1~6を使うものだけについて考えます。

以下、(A,B)とします。

(11,22)〇 (12,24)〇 (13,26)〇 (14,28)×
(15,30)× (16,32)〇 (21,42)〇 (22,44)〇
(23,46)〇 (24,48)× (25,50)× (26,52)〇
(31,62)〇 (32,64)〇 (33,66)〇

 

以上より、11組

 

(11,23)〇 (12,25)〇 (13,27)× (14,29)×
(15,31)〇 (16,33)〇 (21,43)〇 (22,45)〇
(23,47)× (24,49)× (25,51)〇 (26,53)〇
(31,63)〇 (32,65)〇 (33,67)×

 

以上より、10組

 

(3) Aについて考えていきます。

666÷2=333より、考えられるAの最大値は333です。

 

Aについて、4はどの位にも例外なく使えませんが、3、5、6は使えるときと使えないときがあります。

5が使えるのは例外的(繰り上がりが発生するときだけ)なので、一旦1、2、3、6の4つの数で考えてみましょう。

 

 

百の位に1か2か3、十の位に1か2か3か6、一の位に1か2か3か6を使って作ることができる3けたの数は、3×4×4=48通りあります。

百の位が3の場合は下二桁が33を超えてはいけないので、下二桁が61、62、63、66、36の5通りを引きます。

48-5=43

 

ここで、百の位が1か2の数について、236のように2倍の計算をしたときに、繰り上がることによって十の位に7が出来てしまう数を除く必要があります。

しかし、その分256のように繰り上がることによって十の位が0から1になる数も同じだけあるので差し引きゼロとなり、考える必要がなくなります。

よって43組あることになります。

 

(3) (2)の延長でAについて考えます。

66666÷2=33333より、考えられるAの最大値は33333です。

一万の位に1か2か3、その他の位には1か2か3か6が使えると考えた場合、3×4×4×4×4=768通りあります。

ここから、33333を超える数を引きます。

36●●●は4×4×4=64通り

336●●は4×4=16通り

3336●は4通り

3333●は1通りですので、

768-(64+16+4+1)=683通り

 

本来ここから、31361や、13623のように、3と6が隣り合うことによって2倍したときに7が発生してしまう数を引く必要があります。

しかし、31361は31561、13623は15623のように、3を5に変えた数を同じだけ数える必要がありますので、差し引きゼロとなり、考える必要がなくなります。

よって、683組あることになります。

 

 

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