入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門です。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中です。
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東大寺学園中学校 2016年大問2

【問題】

   3種類の数字1, 2, 3を次の規則①, ②, ③にしたがって,左から順に一列に並べます。

     規則① 1の次は3

     規則② 2の次は2または3

     規則③ 3の次は1または2または3

   例えば,2個の数字を並べるとき, 13, 22, 23, 31, 32, 33の6通りの並べ方があります。このとき,次の問いに答えなさい。

    (1) 4個の数字を並べるとき,左から1番目と4番目が2である並べ方は全部で何通りありますか。

    (2) 10個の数字を並べるとき,左から1, 4, 10番目が2で左から7番目が1である並べ方は全部で何通りありますか。

    (3) 10個の数字を並べるとき,左から1, 4, 10番目が2である並べ方は全部で何通りありますか。

 

 

【解説】

   各規則を整理すると、左の数字と右の数字の並べ方は下表のようになります。

    

  (1) 使う数字が決まっている場所の隣は、使える数字が限られます。

 

   A=2か3、B=2か3が使えます。また、ABの並べ方は2、3を使った全ての並べ方が可能です。

   よって4個の数字の並べ方は、1×2×2×1=4通り

   具体的なABは22, 23, 32, 33です。

 

  (2) 1の左右は3に限られますので、6番目と8番目は3になります。

 

    C=2か3、D=2か3が使えますので、10個の数字の並べ方は(1)の結果も利用し、

   4×2×1×1×1×2×1=16通り

 

  (3) (2)のときから、5~9番目の数字を新たに検討する必要があります。

   左右の数字次第で、各数字が使えるときがあれば使えないときもありますので、樹形図をかいて整理します。

 

   

      5~9番目の並べ方は9+11+5+9+11=45通りあります。

   したがって、全ての並べ方は、4×45×1=180通り

 

   5~9番目の並べ方は別の方法でも求められます。

   大きくは、1を使わない場合と使う場合に分けます。

   

   【1を使わない場合】

 

 

   【1を使う場合】…3, 1, 3を一つの塊として考えます。

   32+1+4×3=45通り、となります。

 

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