入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門で、小学生を対象とした学習塾です。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中です。
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洛南高等学校附属中学校 2020年 大問2(5)

問題

2020年洛南高等学校附属中学校

 

解説

図のように点D、Eをとり、CからAEと平行に線を引きます。

そして、DBを延長した線との交点を点Fとします。

図中のように〇と×がそれぞれ同じ角度となり、一辺とその両端角が等しいので三角形ADEと三角形DCFは合同となります。

また、太線部の三角形AEBと三角形CFBは相似で、相似比が2:1です。

これより、AE:CF=<2>:<1>で、DEの長さは<1>なので、<2>-<1>=<1>よりEFの長さも<1>です。

EB:BF=[2]:[1]で、EF=[3]=<1>より、DEの長さは[3]です。

 

これらを元に高さが等しい三角形の考え方で面積比を表すと以下のようになります。

 

5×5÷2=12.5㎠

12.5×2/3×3/5=5㎠

 

別解

更に線を足すと上図のようになります。

合同な直角三角形が正方形を囲んで、大きな正方形になっています。

この図はよく出題されるものなので、経験したことのある人も多いでしょう。

太線部の合同な正方形5つに変形します。

影の部分はそのうちの一つです。

5×5÷5=5㎠

 

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