東大寺学園中学校　2020年　大問４(整数、場合の数)

問題

太郎君と花子さんが1,2,3,4,5,6の6種類の数字だけを並べて整数を作ります。ただし,同じ数字を何回用いてもよいとします。たとえば3けたの整数を作るときは222や353などの整数も作ることができます。太郎君の作る整数をA,花子さんの作る整数をBとするとき,次の問いに答えなさい。

(1) ①2人とも2けたの整数を作るとき,B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

②2人とも2けたの整数を作るとき,B＝2×A＋1となるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

(2) 2人とも3けたの整数を作るとき,B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

(3) 2人とも5けたの整数を作るとき,B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。

解説

(1) Aの候補を全て書き出して考えるとよいでしょう。

66÷2＝33より、Aはおおよそ11以上33以下と限定できます。このうち、1～6を使うものだけについて考えます。

以下、（A,B）とします。

①

以上より、11組

②

以上より、10組

(2) Aについて考えていきます。

666÷2＝333より、考えられるAの最大値は333です。

Aについて、4はどの位にも例外なく使えませんが、3、5、6は使えるときと使えないときがあります。

5が使えるのは例外的（繰り上がりが発生するときだけ）なので、一旦1、2、3、6の4つの数で考えてみましょう。

百の位に1か2か3、十の位に1か2か3か6、一の位に1か2か3か6を使って作ることができる3けたの数は、3×4×4＝48通りあります。

百の位が3の場合は下二桁が33を超えてはいけないので、下二桁が61、62、63、66、36の5通りを引きます。

48－5＝43

ここで、百の位が1か2の数について、236のように2倍の計算をしたときに、繰り上がることによって十の位に7が出来てしまう数を除く必要があります。

しかし、その分256のように繰り上がることによって十の位が0から1になる数も同じだけあるので差し引きゼロとなり、考える必要がなくなります。

よって43組あることになります。

(3) (2)の延長でAについて考えます。

66666÷2＝33333より、考えられるAの最大値は33333です。

一万の位に1か2か3、その他の位には1か2か3か6が使えると考えた場合、3×4×4×4×4＝768通りあります。

ここから、33333を超える数を引きます。

36●●●は4×4×4＝64通り

336●●は4×4＝16通り

3336●は4通り

3333●は1通りですので、

768－(64＋16＋4＋1)＝683通り

本来ここから、31361や、13623のように、3と6が隣り合うことによって2倍したときに7が発生してしまう数を引く必要があります。

しかし、31361は31561、13623は15623のように、3を5に変えた数を同じだけ数える必要がありますので、差し引きゼロとなり、考える必要がなくなります。

よって、683組あることになります。