入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門です。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中です。
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洛星中学校 2019年(前期)

【問題】

次の例のように,整数を3で割り,その商を3で割り,さらにその商を3で割り,…

という操作を繰り返し,商が0になったら操作を終了します。

 

 例:この操作を20から始めると

           「20→6→2→0」

   となり,3回で操作を終了します。

 

(1)操作を100から始めたときの結果を,上の例の「 」内のように書きなさい。

(2)ちょうど4回で操作を終了するような整数の中で最も大きいものは何ですか。

    また,このような整数は全部で何個ありますか。

(3)操作の途中で4が現れるような500以下の整数で最も大きいものは何ですか。

(4)操作の途中で4が現れるような整数(4も含む)で10000以下の整数は全部で何個ありますか。

 

【解説】

(1)100→33→11→3→1→0

 

(2)2回で終了する最も小さい数は3(3→1→0)

   

   3回で終了する最も小さい数は3×3=9

   ↓

   2回で終了する最も大きい数は9-1=8

 

   4回で終了する最も小さい数は3×3×3=27

   ↓

   3回で終了する最も大きい数は27-1=26

 

   5回で終了する最も小さい数は3×3×3×3=81

   ↓

   4回で終了する最も大きい数は81-1=80

 

  よって、80-27+1=54個

 

(3)1回操作すると4になる最も大きな数は、4×3+2=14

    1回操作すると14になる最も大きな数は、14×3+2=44

    1回操作すると44になる最も大きな数は、44×3+2=134

    1回操作すると134になる最も大きな数は、134×3+2=404

    404×3+2は500を超えてしまいますので、404

 

    別解:操作回数が最も多く、かつ、操作の途中で5が現れる最も小さい数を考えます。

       5×3×3×3×3=405 405-1=404

 

(4)操作をすると4が現れる数の最小値と最大値を、操作をさかのぼるごとに調べます。

  1+3+9+27+81+243+729+1253=2346個

 

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