洛星中学校　2019年（前期）　大問６（数と計算）

「３でずっと割っていく操作をする→操作を巻き戻すには３をかけていく」ことが基本方針です。
ですが、余りが関係していますので単純ではありません。
早合点しないようよく確かめながら考えて、(3)まではしっかり正解させたいところです。

問題

次の例のように,整数を3で割り,その商を3で割り,さらにその商を3で割り,…

という操作を繰り返し,商が0になったら操作を終了します。

　例：この操作を20から始めると

　　　　　　　　　　　「20→6→2→0」

　　　となり,3回で操作を終了します。

（1）操作を100から始めたときの結果を,上の例の「　」内のように書きなさい。

（2）ちょうど4回で操作を終了するような整数の中で最も大きいものは何ですか。

　　また,このような整数は全部で何個ありますか。

（3）操作の途中で4が現れるような500以下の整数で最も大きいものは何ですか。

（4）操作の途中で4が現れるような整数（4も含む）で10000以下の整数は全部で何個ありますか。

（1）100→33→11→3→1→0

（2）2回で終了する最も小さい数は3（3→1→0）

　　 3回で終了する最も小さい数は3×3＝9

　　　↓

　　 2回で終了する最も大きい数は9－1＝8

　　 4回で終了する最も小さい数は3×3×3＝27

　　　↓

　　 3回で終了する最も大きい数は27－1＝26

　　5回で終了する最も小さい数は3×3×3×3＝81

　　　↓

　　 4回で終了する最も大きい数は81－1＝80

　　よって、80－27＋1＝54個

（3）1回操作すると4になる最も大きな数は、4×3＋2＝14

　　 1回操作すると14になる最も大きな数は、14×3＋2＝44

　　 1回操作すると44になる最も大きな数は、44×3＋2＝134

　　 1回操作すると134になる最も大きな数は、134×3＋2＝404

　　 404×3＋2は500を超えてしまいますので、404

　　別解：操作回数が最も多く、かつ、操作の途中で5が現れる最も小さい数を考えます。

　　　　　 5×3×3×3×3＝405　405－1＝404

（4）操作をすると４が現れる数の最小値と最大値を、操作をさかのぼるごとに調べます。

　　1＋3＋9＋27＋81＋243＋729＋1253＝2346個