入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門です。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中です。
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東山中学校 2016年 前期 大問6

【問題】

  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字の書かれたカードが1枚ずつ10枚あります。

 この10枚のカードから5枚を選び,右の図の(ア)から(オ)の位置に1枚ずつ並べ5けたの整数をつくります。

 

 

 次に,  (ア)にある数と(イ)にある数との和を①に書きこみます。

     (イ)にある数と(ウ)にある数との和を②に書きこみます。

     (ウ)にある数と(エ)にある数との和を③に書きこみます。

     (エ)にある数と(オ)にある数との和を④に書きこみます。

     ①にある数と②にある数との和を⑤に書きこみます。

     ②にある数と③にある数との和を⑥に書きこみます。

     ③にある数と④にある数との和を⑦に書きこみます。

     ⑤にある数と⑥にある数との和を⑧に書きこみます。

     ⑥にある数と⑦にある数との和を⑨に書きこみます。

     ⑧にある数と⑨にある数との和を⑩に書きこみます。

 これで,和を書きこむ作業は終わります。

 ここで,⑩に書いた数のことを,(ア)から(オ)に並べられた5けたの整数の【最後の和】とよぶことにします。

 例えば,23456の場合は,

  「23456の【最後の和】は,64」となります。

 このとき,次の問いに答えなさい。

 

(1)  28675の【最後の和】を求めなさい。

(2) 最も小さい【最後の和】を求めなさい。

(3) 最も大きい【最後の和】をもつ5けたの整数の中で,最も大きい整数と最も小さい整数との差を求めなさい。

 

【解説】

(1)

 以上より、103となります。

 

(2)  5けたの整数をabcdeとすると、順に作業をすると和は以下のようになります。

 

 

 和を小さくするには5枚のカードは最も小さいものから、つまり0,1,2,3,4を使用します。

 【最後の和】では、cが6倍されることになるのでcは最も小さく、0になります。

 b,dは4倍されることになりますので、b,dは次に小さい1,2です。(どちらが1でも構いません)

 a,eは残りの3,4になります。(これもどちらが3でも構いません)

 よって、

 3+1×4+0×6+2×4+4=19

 

(3) 【最後の和】が最も大きいのは5,6,7,8,9を使用するときで、

 c→b,d→a,eの順に大きい数をあてはめます。

 最大の数=68975 (【最後の和】=6+8×4+9×6+7×4+5=125)

 同じ【最後の和】(125)を持つ最小の数は、最大の数のaとe、bとdを入れかえた数です。

 最小の数=57986

 よって、

 68975-57986=10989

 

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