入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門です。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中です。
(平日14:00~22:00 土曜13:00~20:00)

東山中学校 2018年前期B

【問題】

1から順に整数が書かれているカードがあります。図1のように、これらのカードが1から順にある整数まで時計回りで

円形に並んでいるものを考えます。ここから、1のカードを最初に取り除き、時計回りで1つおきにカードを取り除いて

いき、最後に残るカードについて考えます。例えば、図2のように8のカードまで並んでいるとき、1、3、5、7、2、6、4

の順でカードを取り除き、最後に残るのは8のカードになります。

 

 

このとき、次の問いに答えなさい。

 

(1)16のカードまで並んでいるとき、最後に残るカードに書かれている整数を求めなさい。

 

(2)2018のカードまで並んでいるとき、最後に残るカードに書かれている整数を求めなさい。

 

【解説】

(1)周ごとに残っているカードを書き出すと次のようになります。

よって、16が最後に残ります。

 

(2)(1)のときのようにカードの残り枚数が2枚、4枚(2×2枚)、8枚(2×2×2枚)、16枚(2×2×2×2枚)のように

2だけを何個かかけた数のときは、一番後ろに置かれているカードが最後まで残ることがわかります。

2018のカードまで並んでいる場合、2だけを何個かかけていった数を考えると2018までの中で一番近いものは

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024です。

よって、1024枚のカードが残るときを考えます。

ここまでに2018-1024=994枚取り除き、最後に取り除いたカードは、

1+2×(994-1)=1987

ですのでこの次に取り除くカードは1989です。

1989を先頭に考えると1988が一番後ろに置かれていることになりますので、1988が最後に残ります。

 

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