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灘中学校 2021年 第一日 問5(整数)

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【問題】

Aは2桁の整数で,A×Aを15で割ると1余ります。このようなAは全部で□個あります。

 

【解説】

Aを15で割った余りをBとし、A×Aを15で割った余りとB×Bを15で割った余りが等しい(※1)ことを利用して解きます。

Bは14以下の整数なので、14までについて調べます。

上表より、B×Bを15で割った余りが1になるのはB=1,4,11,14のときです。

Aは15の倍数+1、15の倍数+4、15の倍数+11、15の倍数+14のいずれかです。

2桁の整数は10~99までの90個で、90÷15=6あまり0であるため、どれもちょうど6個ずつある(※2)ことがわかります。

よって、6×4=24個

 

(補足)

※1

面積図で考えます。

 

※2

全て書き出すと以下のようになります。

B=1のとき、A=16,31,46,61,76,91

B=4のとき、A=19,34,49,64,79,94

B=11のとき、A=11,26,41,56,71,86

B=14のとき、A=14,29,44,59,74,89

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