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入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門で、小学生を対象とした学習塾です。授業は1科目週1回1時間。無理のない楽しい中学受験を。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中。洛星、洛南、西京、洛北、東山、京都女子、同志社など多くの中学に合格の実績があります。

灘中学校 2021年 第一日 問5(整数)

割り算の余りに関する問題で、問題文は短いですが複雑な思考を要求されます。
整数Aを15で割った余りがBであるとき、A×Aを15で割った余りと、B×Bを15で割った余りは等しいということを利用するのが好ましいのですが、その事実に行きつくかどうかは日頃の数字に対する考えの深さによって決まるでしょう。

問題

Aは2桁の整数で,A×Aを15で割ると1余ります。このようなAは全部で□個あります。

 

解説

Aを15で割った余りをBとし、A×Aを15で割った余りとB×Bを15で割った余りが等しい(※1)ことを利用して解きます。

Bは14以下の整数なので、14までについて調べます。

上表より、B×Bを15で割った余りが1になるのはB=1,4,11,14のときです。

Aは15の倍数+1、15の倍数+4、15の倍数+11、15の倍数+14のいずれかです。

2桁の整数は10~99までの90個で、90÷15=6あまり0であるため、どれもちょうど6個ずつある(※2)ことがわかります。

よって、6×4=24個

 

(補足)

※1

面積図で考えます。

 

※2

全て書き出すと以下のようになります。

B=1のとき、A=16,31,46,61,76,91

B=4のとき、A=19,34,49,64,79,94

B=11のとき、A=11,26,41,56,71,86

B=14のとき、A=14,29,44,59,74,89

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