入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門で、小学生を対象とした学習塾です。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中です。
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甲陽学院中学校(2020年 第一日)大問3

問題

6つの角がすべて120°の六角形ABCDEFがあり、辺の長さは図のようになっています。この六角形を辺AFに平行な直線PQによって2つの五角形APQEFとPBCDQに分けると、その2つの五角形の周の長さが等しくなりました。

甲陽学院中学校2020年算数

(1)APの長さを求めなさい。

(2)五角形APQEFと五角形PBCDQの面積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

 

解説

辺AB、CD、EFを延長して大きな三角形を作り、三角形GHIとします。

六角形ABCDEFの外角は全て60°なので、六角形ABCDEFに正三角形を3つ付け足した形になり、同時に、三角形GHIも正三角形です。

AG=5cm、BH=3cmより、GHの長さは5+4+3=12cmです。

以上より、CH=3cm、DI=12-(3+4)=5cm、

また、

EI=5cm、FG=5cm、EF=12-(5+5)=2cm

とわかります。

 

上図のように各部分の長さをa,b,c,dとし、五角形APQEFとPBCDQの周の長さが等しいことを式にします。

a+PQ+b+2+5=c+3+4+d+PQ

a+b+7PQ=c+d+7PQ

a+b=c+d

a+b+c+d=4+5=9cmなので、

a+b=9÷2=4.5cm…①

a-b=2cm…②

 

①+②の式を作ると、

(a+b)+(a-b)=a×2=6.5

a=6.5÷2=3.25cm

 

(2)相似の面積比で考えます。

甲陽学院中学校入試問題

相似比の2乗が面積比ですので、正三角形GHIの面積(比)を12×12=144とします。

ここからスミにある正三角形3つの面積(比)を引きます。

144-(5×5+3×3+5×5)=85…六角形ABCDEFの面積(比)

辺GPを一辺とする正三角形(図の太線部)の面積(比)は、5+3.25=8.25=33/4cmより、33/4×33/4=1089/16

正三角形GAFの面積(比)は、5×5=25

辺EQを一辺とする正三角形の面積(比)はb=3.25-2=1.25=5/4cmより、5/4×5/4=25/16

よって、五角形APQEFの面積(比)は、1089/16-25/16-25=41.5

 

五角形PBCDQの面積(比)は85-41.5=43.5

五角形APQEF:PBCDQ=41.5:43.5=83:87

 

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