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入江塾は、京都市の塾グループ「育星舎」のなかの中学受験専門部門で、小学生を対象とした学習塾です。授業は1科目週1回1時間。無理のない楽しい中学受験を。本部の北野教室(北野白梅町、円町)を中心に出町教室・桂教室でも開講中。洛星、洛南、西京、洛北、東山、京都女子、同志社など多くの中学に合格の実績があります。

東大寺学園中学 2024年度 大問4(速さ)

速さの問題です。動く点の移動した距離について,速さの和や差を利用して考える必要があります。速さのあらわしかたを工夫しましょう。

問題

下の図のような,大きさの異なる正方形ABCD,正方形AEFGと直線AOを組み合わせた図形があります。この図形において,4つの点P,Q,R,Sを,Aを出発点として次に示すコース上をそれぞれ動かします。

P,Rのコース・・・正方形ABCDの周をA→B→C→D→Aの順に移動して一周し,その後Oへ向かってまっすぐ移動する

Q,Sのコース・・・正方形AEFGの周をA→E→F→G→Aの順に移動して一周し,その後Oへ向かってまっすぐ移動する

ただし,OはEから遠いところにあり,P,Q,R,SがOに着くことは考えないものとします。

まず,PとQをそれぞれ一定の速さで,Pが1分間に動く距離とQが1分間に動く距離の和が12㎝となるように動かします。すると,PとQが同時にAを出発してからちょうど10分後に,Pは正方形ABCDを一周したのちにEの位置にあり,Qは正方形AEFGを一周したのちにBの位置にありました。

 

(1)DGの長さを求めなさい。

(2)PとQがA以外の点で重なるのはAを出発してから何分何秒後ですか。また,この重なる位置の点をKとするとき,AKの長さを求めなさい。

 

次に,RとSをそれぞれ一定の速さで動かします。RとSが同時にAを出発してからちょうど12分後に,RとSは(2)の点Kより6㎝だけOの方向に進んだ点で重なりました。

(3) RとSが重なる3分前のRの位置の点をLとします。ELの長さを求めなさい。

 

解説

(1)PとQが10分間に進む距離の和は 12㎝/分×10分=120㎝

また,正方形ABCDの一辺の長さを〔1〕,正方形AGFEの一辺の長さを〈1〉とすると,

Pが10分間に進んだ距離は 〔4〕+〈1〉

Qが10分間に進んだ距離は 〔1〕+〈4〉 とあらわせるので,

PとQが10分間に進む距離の和は (〔4〕+〈1〉)+(〔1〕+〈4〉)=〔5〕+〈5〉

〔5〕+〈5〉=120㎝ より DG=〔1〕+〈1〉=120÷5= 24㎝

 

(2)(1)よりPの分速は (〔4〕+〈1〉)÷10分=(〔0.4〕+〈0.1〉)/分   Qの分速は (〔1〕+〈4〉)÷10分=(〔0.1〕+〈0.4〉)/分

BE=〈1〉ー〔1〕

QとPの分速の差は (〔0.1〕+〈0.4〉)ー(〔0.4〕+〈0.1〉)=(〔0.3〕ー〈0.3〉)/分なので

QがPに追いつくのは10分後の位置から

 

(3)RとSが重なった位置はAから32+6=38㎝の位置

Rは12分で 〔4〕+38㎝ 進むので,3分では (〔4〕+38)÷4=〔1〕+9.5㎝ 進む

よってRとSが重なる3分前の様子は下図のようになる。


x=38-(〈1〉+〔1〕+9.5)=38-(24+9.5)= 4.5㎝

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