東大寺学園中学　2024年度　大問４（速さ）

問題

下の図のような，大きさの異なる正方形ABCD，正方形AEFGと直線AOを組み合わせた図形があります。この図形において，４つの点P，Q，R，Sを，Aを出発点として次に示すコース上をそれぞれ動かします。

P，Rのコース・・・正方形ABCDの周をＡ→Ｂ→Ｃ→D→Aの順に移動して一周し，その後Oへ向かってまっすぐ移動する

Q，Sのコース・・・正方形AEFGの周をＡ→Ｅ→Ｆ→G→Aの順に移動して一周し，その後Oへ向かってまっすぐ移動する

ただし，ＯはＥから遠いところにあり，P，Q，R，SがＯに着くことは考えないものとします。

まず，PとQをそれぞれ一定の速さで，Pが１分間に動く距離とQが１分間に動く距離の和が12㎝となるように動かします。すると，PとQが同時にAを出発してからちょうど10分後に，Pは正方形ABCDを一周したのちにEの位置にあり，Qは正方形AEFGを一周したのちにBの位置にありました。

（1）DGの長さを求めなさい。

（2）PとQがA以外の点で重なるのはAを出発してから何分何秒後ですか。また，この重なる位置の点をKとするとき，AKの長さを求めなさい。

次に，RとSをそれぞれ一定の速さで動かします。RとSが同時にAを出発してからちょうど12分後に，RとSは(2)の点Kより6㎝だけOの方向に進んだ点で重なりました。

（3）　RとSが重なる３分前のRの位置の点をLとします。ELの長さを求めなさい。

解説

（1）PとQが10分間に進む距離の和は　12㎝/分×10分＝120㎝

また，正方形ABCDの一辺の長さを〔1〕，正方形AGFEの一辺の長さを〈1〉とすると，

Pが10分間に進んだ距離は　〔4〕＋〈1〉

Qが10分間に進んだ距離は　〔1〕＋〈4〉　とあらわせるので，

PとQが10分間に進む距離の和は　（〔4〕＋〈1〉）＋（〔1〕＋〈4〉）＝〔5〕＋〈5〉

〔5〕＋〈5〉＝120㎝　より　DG＝〔1〕＋〈1〉＝120÷5＝　24㎝

（2）（1）よりPの分速は　（〔4〕＋〈1〉）÷10分＝（〔0.4〕＋〈0.1〉）/分　　　Qの分速は　（〔1〕＋〈4〉）÷10分＝（〔0.1〕＋〈0.4〉）/分

BE＝〈1〉ー〔1〕

QとPの分速の差は　（〔0.1〕＋〈0.4〉）ー（〔0.4〕＋〈0.1〉）＝（〔0.3〕ー〈0.3〉）/分なので

QがPに追いつくのは10分後の位置から

（3）RとSが重なった位置はAから32＋6＝38㎝の位置

Rは12分で　〔4〕＋38㎝　進むので，3分では　（〔4〕＋38）÷4＝〔1〕＋9.5㎝　進む

よってRとSが重なる3分前の様子は下図のようになる。

ｘ＝38－（〈1〉＋〔1〕＋9.5）＝38－（24＋9.5）＝　4.5㎝