立命館守山中学校　2017年　算数（前期）　大問５（当選確実）

問題

全校生徒1000人の中から役員3人を選ぶ選挙を行うことにしたところ,りつこさん,めいさん,かんた君,まもる君,

やまと君,ちゅうたろう君の6人が立候補しました。
選挙は,立候補者も含めて1人1票必ず投票することとし,投票数の多い3名を役員とすることにします。

このとき,次の問いに答えなさい。

問１　役員に確実に選ばれるには,最低何票必要か求めなさい。

問２　850票を開票したところ,下の表のようになった。このとき次の問いに答えなさい。

解説

問１

　　最も僅差で勝つ場合を考えます。

　まず、1000票を当選する3人と、落選する1人とで平等に分けます。

　残り2人の落選候補者には票がいかない（落選する一人が最も善戦する）ようにすることがポイントです。

　　1000÷（3＋1）＝250票あまり0

　250票では当選確実ではないので250＋1＝251票が最低必要な票数となります。

　このことより、当選確実である票数xは以下のように表されます。

　　開票している途中の当選確実である票数は、開票前と異なります。

　この時点での残り票数は、1000－850＝150票

　現在3位以上の人はここから、自分に近い候補者から追い抜かれて4位にならないことが重要です。

　　りつこさんは、残り150票を自分と、2位のちゅうたろう君、3位のめいさん、4位のまもる君の4人で分ける

　ことを考えます。

　ここまでの得票数と、残りの150票を合わせると、

　　230＋175＋150＋120＋150＝825票

　　825÷（3＋1）＝206票あまり1

　当選確実である票数は206＋1＝207票なので、りつこさんは当選が確定しています。

　　次に、既に当選が確定したりつこさんを除いて、2位のちゅうたろう君、3位のめいさん、4位のまもる君の

　3人だけで考えます。りつこさんも入れて計算すると、必要な票数が引き上げられてしまうからです。

　この場合、当選者が2人と落選者が1人になります。

　3人の得票数と残りの150票を合わせると、

　　175＋150＋120＋150＝595票

　　595÷（2＋1）＝198票あまり1

　当選確実である票数は198＋1＝199票なので、他に当選確実な人はいません。　

　答：りつこさん

　　ちゅうたろう君、めいさん、まもる君の3人は199票必要だとわかっているので、

　　199－120＝79より、あと79票必要です。

 【別解】

　　以上のように考えてもよいですが、問２は図で考えるとわかりやすくなります。

　　上図のように得票数順に棒グラフをかき、上位4人を選出し、仕切りをします。

　そして残りの150票を水だと考えて、低いところから入れていきます。

　全て入れ終わったときの水面に当たる部分が当選確実ラインで、ここを上回れば当選が確定します。

　りつこさんは既に当選確実で、2位～4位の3人は199票以上得た時点で当選が確定します。